✎ Résoudre une équation

Définitions

On considère une équation.
Résoudre cette équation, c'est déterminer la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent vraies l'égalité.
Ces valeurs sont les solutions de l'équation.

Remarque

Dans un équation, l'inconnue est souvent appelée \(x\).

Exemple 1

Résolvons l'équation \(4x-5=0\).

Première étape
J'ajoute \(5\) à chaque membre de l'égalité :
\(4x-5\color{red}{+5}=0\color{red}{+5}\) ce qui équivaut à \(4x=5\). 
On a choisi d'ajouter \(5\) à chaque membre de l'égalité pour qu'il n'y ait plus qu'un terme "en \(x\)" dans le membre de gauche de l'égalité.
Seconde étape
On divise par \(4\) chaque membre de l'égalité :
\(\dfrac{4x}{\color{red}4}=\dfrac{5}{\color{red}4}\) ce qui équivaut à \(x=\dfrac{5}{4}\)  (explications : \(\dfrac{4x}{4}=\dfrac{4\times x}{4}=x\)).
On a choisi de diviser par \(4\) chaque membre de l'égalité pour qu'on "isole \(x\)" c'est-à-dire qu'on obtienne une équation de la forme \(x= ...\)
On a réussi à trouver la valeur de l'inconnue : l'équation a une seule solution qui est le nombre \(\dfrac{5}{4}\).
Ceci s'écrit : \(\textit{S}=\left\{\dfrac{5}{4}\right\}\).

Exemple 2

Résolvons l'équation \(3x+1=x-5\).
On commence par regrouper les termes "en \(x\)" dans un seul membre de l'égalité, par exemple dans celui de gauche.
\(3x+1\color{red}{-x}=x-5\color{red}{-x}\) ce qui équivaut à \(2x+1=-5\).
(explications : on a effectué dans le membre de gauche \(3x-x=2x\) et dans le membre de droite \(x-x=0\) ).
On est alors ramené à ce qu'on a vu dans l'exemple 1.
\(2x+1\color{red}{-1}=-5\color{red}{-1}\) 
ce qui équivaut à \(2x=-6\)  
ce qui équivaut à \(\dfrac{2x}{\color{red}2}=\dfrac{-6}{\color{red}2}\)         
ce qui équivaut à  \(x=-3\).
Conclusion : \(\textit{S}=\left\{-3\right\}\).